การคูณพหุนาม  ก็เหมือนกับการคูณจำนวนตัวเลขธรรมดาครับไม่มีอะไรยากครับ แค่จับ concept ได้ ก็ง่ายแล้วครับ ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหาจริงๆ ผมจะขอทบทวน เพื่อเตรียมความพร้อมก่อนน่ะครับ

ทบทวนก่อนเรียน

                      xyxy  หมายถึง xx  คูณกับ  yy

                      10x10x  หมายถึง 1010 คูณกับ xx

                     25xy25xy  หมายถึง 2525  คูณกับ xx  คูณกับ yy

                     55⋅x55⋅x  หมายถึง  5555  คูณกับ  xx

                     23×y23×y  หมายถึง 2323  คูณกับ yy

คือสัญลักษณ์ของการคูณนั้นมีหลากหลายมากครับ เขียนติดกันก็เป็นการคูณ เช่น xy  บางครั้งใช้สัญลักษณจุดเช่น x⋅yx⋅y หรือบางครั้งใช้เครื่องหมายกากบาท เช่น m×nm×n ก็เป็นการคูณเหมือนกันครับ บางครั้งน้องๆม.1 อาจจะยังไม่คุ้นเคย เพราะเจอแต่สัญลักษณ์เดียวคือกากบาท ก็เลยเขียนอธิบายเพื่อให้เข้าใจตรงกันครับ

สิ่งที่ต้องรู้อีกอย่างหนึ่งคือ การคูณกันของเลขยกกำลังครับ

           นิยาม ให้ x,yx,y เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ m,n⩾0m,n⩾0  จะได้ว่า

        1. x(ยกกำลังm)x(xยกกำลังn) = x(ยกกำลังm+n)   ( ฐานเหมือนกันคูณกัน ให้เอาเลขชี้้กำลังมาบวกกันครับ)

        2. (xยกกำลังmทั้งหมดยกกำลัง)n = x(ยกกำลังmn)   ข้อ 2 แถมให้ครับระดับนี้ยังไม่ได้ใช้แต่รู้ไว้ครับ

           ตัวอย่างเช่น

           x6x5  =x6+5

                     =x11x6x5

                     =x6+5

          15x3x7 = 15x3+7

                       = 15x1015x3x7

                       = 15x3+7

                       = 15x10

          y3y4 = y3+4y3y4

                   = y3+4

          x2y9x6y5 = x2+6y9+5

                            = x8y14x2y9x6y5

                            = x2+6y9+5

                            = x8y14

           7x(x+4) = (7x)(x)+(7x)(4)

                        = 7x1+1+28x

                        = 7x2+28x7x(x+4)

                        = (7x)(x)+(7x)(4)

                        = 7x1+1+28x

                        = 7x2+28x

                                                                       มาฝึกทำโจทย์กันดีกว่าครับ

                                                                              เรื่องการคูณพหุนาม

                          จงหาผลคูณต่อไปนี้

                                  1)  (2x)(3x)(2x)(3x)

                       วิธีทำ (2x)(3x)(2x)(3x   = (2×3)(x×x)

                                                           = (2×3)(x×x)

                                                           =6x(1+1)

                                                           =6x(1+1)   (ฐานเหมือนกันคูณกันเอาเลขชี้กำลังบวกกัน)

                                                           =6x2

                                                           =6x2

 

                                 2)  (−x)(−y)(−x)(−y)

                       วิธีทำ (−x)(−y)(−x)(−y) = (−1)(−1)(xy)

                                                            = (−1)(−1)(xy)

                                                            =xy

                                                            =xy

 

                                  3) (9xy)(3)(9xy)(3)

                       วิธีทำ (9xy)(3)(9xy)(3)   =  (9)(3)(xy)

                                                            =  (9)(3)(xy)

                                                            = 27xy

                                                            = 27xy

 

                                  4)  (12x)(8x2)(12x)(8x2)

                      วิธีทำ (12x)(8x2)(12x)(8x2) = (12)(8)(x⋅x2)

                                                                = (12)(8)(x⋅x2)

                                                                = 82x(1+2)

                                                                = 82x(1+2)

                                                                = 4x3

                                                                = 4x3

 

                                  5) (−2xy)(−y)(−2xy)(−y)

                       วิธีทำ (−2xy)(−y)(−2xy)(−y) = (−2)(−1)(xyy)

                                                                     = (−2)(−1)(xyy)

                                                                     =2xy2

                                                                     =2xy2

 

                                  6) 0(12xz2)0(12xz2)

                       วิธีทำ 0(12xz2)0(12xz2)     =  0(12xz2)

                                                                 =  0

                                                                 =  0(12xz2)

                                                                 =  0   (ข้อนี้ตอบ ศูนย์ครับ เพราะว่าศูนย์คูณอะไรก็ได้ศูนย์)

                                7) (−4x)(−13xy)(−4x)(−13xy)

                      วิธีทำ (−4x)(−13xy)(−4x)(−13xy) = (−4)(−13)(xxy)

                                                                          = (−4)(−13)(xxy)

                                                                          = 52x2y

                                                                          = 52x2y

                                8)  (−9xy2)(11xy)(−9xy2)(11xy)

                      วิธีทำ (−9xy2)(11xy)(−9xy2)(11xy) = (−9)(11)(xxy2y

                                                                            = (−9)(11)(xxy2y

                                                                            = −99x2y3

                                                                            = −99x2y3

                                9)  (−3xy)(4x3)(−3xy)(4x3)

                      วิธีทำ (−3xy)(4x3)(−3xy)(4x3) = (−3)(4)(xx3y)

                                                                       = (−3)(4)(xx3y)

                                                                       = −12x4y

                                                                       = −12x4y

 

                                10)  (10x2y)(−6xy2(10x2y)(−6xy2

                       วิธีทำ (10x2y)(−6xy2(10x2y)(−6xy2 = (10)(−6)(x2xyy2

                                                                                  = (10)(−6)(x2xyy2

                                                                                  = −60x3y3

                                                                                  = −60x3y3

 

                                11)  (−14y2)(2yz2)(−14y2)(2yz2)

                        วิธีทำ (−14y2)(2yz2)(−14y2)(2yz2) = (−14)(2)(y2yz2

                                                                                = (−14)(2)(y2yz2

                                                                                = −28y3z2

                                                                                = −28y3z2

 

                                                                  2. จงหาผลคูณต่อไปนี้

                                                                             

                                            1)  6(5x+2)6(5x+2)

                                     วิธีทำ 6(5x+2)6(5x+2) = (6)(5x)+(6)(2)

                                                                         = (6)(5x)+(6)(2)

                                                                         = 30x+12

                                                                         = 30x+12

 

                                            2) 12(4x+6)12(4x+6)

                                      วิธีทำ 12(4x+6)12(4x+6) = (12)(4x)+(12(6)

                                                                            = (12)(4x)+(12(6)

                                                                            = 4x2+62

                                                                            = 4x2+62

                                                                            =2x+3

                                                                            = 2x+3

 

                                             3) x(x−1)x(x−1)

                                       วิธีทำ x(x−1)x(x−1) = x[x+(−1)]

                                                                      = x[x+(−1)]

                                                                      = (x)(x)+(x)(−1)

                                                                      = (x)(x)+(x)(−1)

                                                                      = x2+(−x)

                                                                      = x2+(−x)

                                                                      = x2−x

                                                                      = x2−x

 

                                           4) (−7x)(−8x+9)(−7x)(−8x+9)

                                      วิธีทำ (−7x)(−8x+9)(−7x)(−8x+9) = (−7x)(8x)+(−7x)(9)

                                                                                            = (−7x)(8x)+(−7x)(9)

                                                                                            = (−7)(8)(xx)+(−7)(9)(x)

                                                                                            = (−7)(8)(xx)+(−7)(9)(x)

                                                                                            = −56x2+(−63)x

                                                                                            = −56x2+(−63)x

                                                                                            = −56x2−63x

                                                                                            = −56x2−63x

        หลังจากที่เขียนบทความนี้ไว้นานแล้วรู้สึกว่ายังเขียนไม่ครอบคลุมเกี่ยวกับการคูณพหุนามทั้งหมดวันนี้(6พ.ย.56)ก็ได้ฤกษ์เขียนบทความเพิ่มเติม ซึ่งสิ่งที่จะเขียนต่อไปนี้ก็ไม่ยากคับ พยายามอ่านทำความเข้าใจน่ะคับ

ก่อนที่จะเริ่มต้นคูณพหุนาม ผมขอทบทวนเกี่ยวกับหลักการคูณสักนิดก่อนน่ะคับ

จำนวนบวก คูณกับ จำนวนบวก ผลลัพธ์จะได้เป็นจำนวนบวกเสมอ

ยกตัวอย่างเช่น

5×2=105×2=10  สองกับห้า ต่างก็เป็นจำนวนบวกทั้งคู่ผลลัพธ์ที่ได้คือสิบ ซึ่งเป็นจำนวนบวกด้วย

5x×2x=10x25x×2x=10x2 ห้าเอ็กซ์ กับ สองเอ็กซ์ ต่างก็เป็นจำนวนบวกทั้งคู่ผลลัพธ์ที่ได้คือสิบเอ็กซ์กำลังสองซึ่งเป็นจำนวนบวกด้วย

จำนวนลบ คูณกับ จำนวนลบ ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนบวกเสมอ

ยกตัวอย่างเช่น

−5×−2=10−5×−2=10 ลบห้า กับ ลบสองต่างก็เป็นจำนวนลบทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ สิบ ซึ่งเป็นจำนวนบวก

−5x×−2x=10x2−5x×−2x=10x2 ลบห้าเอ็กซ์ กับ ลบสองเอ็กซ์ ต่างก็เป็นจำนวนลบทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ สิบเอ็กซ์ยกกำลังสองซึ่งเป็นจำนวนบวก

แต่ถ้า

จำนวนลบ คูณกับ จำนวนบวก หรือ จำนวนบวก คูณกับ จำนวนลบ พูดง่ายๆคือจำนวนสองจำนวนนั้นมีเครื่องหมายต่างกันผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณจะเป็นลบเสมอ 

 ยกตัวอย่างเช่น

−5×2=−10−5×2=−10 ตัวหนึ่งเป็นจำนวนลบอีกตัวเป็นจำนวนบวกผลลัพธ์ที่ได้เป็นลบเสมอซึ่งก็คือลบสิบคับ

5x×(−2x)=−10x25x×(−2x)=−10x2เครื่องหมายต่างกันผลลัพธ์ออกมาเป็นลบคือลบสิบเอ็กยกกำลังสอง

นี่คือหลักการเกี่ยวกับเครื่องหมาย จำให้ดีน่ะครับว่าหลังจากที่เราคูณแล้วผลลัพธ์ที่ได้นั้นจะออกมาเป็นบวกหรือเป็นลบ

ต่อเลยน่ะครับ

ถ้าไปเจอการคูณพหุนามที่อยู่ในลักษณะนี้

(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)
(2x−1)(5x+2)(2x−1)(5x+2)

(x2−1)(x+2)(x2−1)(x+2) เป็นต้น

เราจะมีหลักการในคูณอย่างไร  วิธีการก็ง่ายๆคับ  ดูจากรูปข้างล้างน่ะ

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

จงหาผลคูณต่อไปนี้

1.(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)

วิธีทำ ดูจากรูปข้างบนประกอบน่ะคับ

เอาหน้า คูณ หน้า ,ใกล้ คูณ ใกล้ , ไกล คูณ ไกล ,หลัง คูณ หลัง ตามรูปส่วนเครื่องหมายดูดีน่ะว่าเป็นบวกหรือเป็นลบผมได้เขียนอธิบายไว้หมดแล้ว อ่านให้เข้าใจก็ทำได้ ไม่ยากน่ะ

(x+1)(x+2) = x(x)+1(x)+2(x)+1(2)(x+1)(x+2)

= x(x)+1(x)+2(x)+1(2)

= x2+3x+2

= x2+3x+2 เห็นไหม ไม่ยากเลยคับ ง่ายๆ จับหลักการให้ได้ ก็ไม่ยากแล้ว

2.(x−1)(x−2)(x−1)(x−2)

วิธีทำ ข้อนี้หลักการเดียวกันเหมือนข้อข้างบน แต่ควรระวังเครื่องหมาย

(x−1)(x−2)(x−1)(x−2)

เอาหน้าคูณ หน้า คือ x(x)=x2x(x)=x2

ใกล้ คูณ ใกล้ คือ (−1)x=−x(−1)x=−x

ไกล คูณ ไกล คือ (−2)x=−2x(−2)x=−2x

หลัง คูณ หลัง คือ (−1)(−2)=2(−1)(−2)=2

ดังนั้นจะได้

(x−1)(x−2)=x2−x−2x+2(x−1)(x−2)=x2−x−2x+2

=x2−3x+2=x2−3x+2 ระวังเครื่องหมายบวก ลบ น่ะคับ

ดูต่อพยายามทำความเข้าใจเองน่ะคับ

3.(x+1)(x−4)(x+1)(x−4)

วิธีทำ  (x+1)(x−4) = x(x)+1(x)+(−4x)+1(−4)(x+1)(x−4)

= x(x)+1(x)+(−4x)+1(−4)  ระหว่างพจน์ให้ของคู่ที่เรานำมาจับคู่คูณกันให้ใส่เครื่องหมายบวกไว้  ต่อไปก็จะได้

= x2+x−4x−4

= x2+x−4x−4  เครื่องหมายต่างกันชนกันได้ลบน่ะคับ เช่นในตัวอย่าง +(-4x)=-4x และ +1(-4)=-4

= x2−3x−4

= x2−3x−4  พจน์ไหนที่ลบกันได้ก็จับลบกันคับ  x-4x=-3x

​

​

http://mathpaper.net/index.php/2012-12-17-04-15-04

​

​

​

​

​